Limite de Betz

Ce résultat fut découvert par l'allemand Albert Betz en 1919 et fut publié dans son ouvrage Wind Energie en 1926. Aussi étonnant que cela puisse paraître, cette loi s'applique à tout type d'éolienne qu'on désignera d'ailleurs par le nom générique de capteur éolien.

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Énergie éolienne - Énergie renouvelable - Utilisation durable des ressources naturelles

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5 messages - 3 auteurs - Dernier message : 25 mai 2008 2/ la puissance extraite par le capteur éolien est identique à .... C'est intéressant la limite de Betz. Mais si c'est ton sujet de TIPE, laisse tomber.... D le diamètre des pales et V la vitesse du vent arrivant de face.... (source : forum.prepas)
On peut distinguer les capteurs éoliens dont l'hélice est en amont comparé au vent.... c'est la limite de Betz. avec V la vitesse instantanée du vent.... (source : membres.lycos)
5 messages - 4 auteurs Comme vous le voyez, la limite de Betz n'existe finalement pas, cette eolienne tutoyant les 100% d'energie du vent utilises.... Dans le calcul de Betz, c'est la surface totale tu " capteur " éolien qu'il faut prendre en compte, ... (source : thewindpower)

Historique et Énoncé

Ce résultat fut découvert par l'allemand Albert Betz en 1919 et fut publié dans son ouvrage Wind Energie en 1926. Aussi étonnant que cela puisse paraître, cette loi s'applique à tout type d'éolienne (Exception faîte des éoliennes à axes verticaux comme celle de http ://www. eolprocess. com/ ainsi qu'à rotor de Savonius) qu'on désignera d'ailleurs par le nom générique de capteur éolien.

En effet, Betz affirme que la puissance théorique maximale récupérable par un capteur éolien est identique à 16/27 de la puissance incidente du vent qui "traverse" l'éolienne. Il affirme qui plus est que cette limite sera atteinte quand le capteur éolien freinera le vent à 1/3 de sa vitesse en amont de l'éolienne. Évidemment, la puissance incidente du vent est cinétique et dépend de la surface que le capteur éolien "propose au vent", de la vitesse du vent et de la masse volumique de l'air. On peut regrouper ces résultats selon ces formules :

$P_{extraite}ˆ{max}=\frac{16}{27}.P_{incidente}$ avec $P_{incidente} = P_{cinetique} = \frac{1}{2}.\rho.S.Vˆ3 \,$ quand $V_{aval} = \frac{1}{3} V_{amont}$

ρ

: masse volumique du fluide (1.23 kg/m³ pour l'air à 20°C)

S : surface du capteur éolien en m²

V : vitesse incidente (amont) du fluide en m/s

Démonstration

Pour se lancer dans cette démonstration, il faut avoir une idée de ce que sont le théorème de Bernoulli, le théorème d'Euler... un minimum de connaissances de mécanique des fluides.

Modélisation

- écoulement monodimensionnel par section, stationnaire d'un fluide parfait homogène

- on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen

Notation

- Dm : débit massique d'air

- S : surface du capteur éolien

ρ

: masse volumique du fluide

Selon le modèle, le débit massique est constant $D m = ρ S v = c s t e$ , mais v diminue car le capteur éolien capte l'énergie cinétique du vent, on en déduit que S augmente, d'où la figure ci-dessous représentant le tube de courant (bleu) dans lequel est plongé le capteur éolien.

Un bilan de quantité de mouvement permet alors d'exprimer l'effort F transmis au rotor : $F = D m (v 1 - v 2)$ (1)

Maintenant considérons le tube de courant au niveau du rotor de l'éolienne, l'écoulement est supposé parfait et stationnaire, on néglige le champ de pesanteur et le fluide incompressible, on peut alors utiliser le théorème de Bernoulli sur une même ligne de courant entre S1 et l'amont du rotor, et entre S2 et l'aval du rotor :

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Donc, quand $ε - > 0$ on aura $v + = v - = v$ , on en déduit alors : $Pˆ--Pˆ+=\frac {\rho}{2}(v_{1}ˆ2 - v_{2}ˆ2)$ (2)

Et en faisant un bilan de quantité de mouvement sur ce second contour on obtient : $- F + S (P + - P -) = D m (v + - v -) = 0$ (3)

On tire alors des relations (1) (2) et (3) : $v=\frac{v_{1}+v_{2}}{2}$

Maintenant en notant P la puissance extraite par le capteur éolien et P0 la puissance incidente du vent non perturbé :

$P_{0}=\frac{1}{2} \rho S v_{1}ˆ3$

$P=-\frac{dEc_{vent}}{dt}=\frac {1}{2} \rho S v (v_{1}ˆ2-v_{2}ˆ2)=\frac{\rho}{4} S (v_{1}ˆ2-v_{2}ˆ2)(v_{1}+v_{2})$

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne selon x défini par :

$r=\frac {P}{P_{0}}=\frac{1}{2}(1-xˆ2)(1+x) \,\,\,\,\,\,\,\, avec \,\,\,\,\,\,\,\, x=\frac {v_{2}}{v_{1}}$

On remarque tandis qu'on atteint un maximum pour x=1/3, alors r=16/27 d'où la limite de Betz :

$P_{extraite}ˆ{max} \,\, = \,\, \frac {16}{27} \, P_{incidente}$

Sources : http ://www. eolprocess. com/

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